✍ Raiz quadrada de um número positivo

Consideremos o problema de calcular a raiz quadrada de um número positivo...

Consideremos o problema de calcular a raiz quadrada de um número positivo latex2png equation , isto é, latex2png equation tal que latex2png equation e latex2png equation.

Como é que um computador calcula raízes quadradas? A maneira usual é usarmos o método de Newton para determinar a solução da equação latex2png equation. Começando com uma aproximação inicial latex2png equation para o valor da raiz quadrada de latex2png equation, conseguimos obter uma melhor aproximação calculando a média aritmética de latex2png equation e de latex2png equation.

Consideremos o cálculo de latex2png equation. Tomando o valorlatex2png equation como aproximação inicial, obtemos a tabela:

Aproximação         Quociente         Média

1                   2/1               (2+1)/2=1.5

1.5                 2/1.5=1.3333      (1.3333+1.5)/2=1.4167

1.4167              2/1.4167=1.4118   (1.4167+1.4118)/2=1.4142

1.4142              ...

Continuando com este processo iremos obter de cada vez melhores aproximações ao valor de latex2png equation.

Este algoritmo na sua presente forma foi descoberto por Herão de Alexandria no século um A.C.

A forma recursiva está implementada na função em GNU/Octave heron.m

function y=heron(x,y,tol)
  while(abs(x-y.^2)>tol)
    y=heron(x,(y+x/y)/2,tol);
  endwhile;
endfunction;

O cálculo de uma aproximação à raiz quadrada de latex2png equation que corresponde ao comando heron(2,1,.001) é de facto a composição seguinte (processo definido por recorrência linear):

> heron(2,1,.001)
> heron(2,heron(2,3/2,.001),.001)
> heron(2,heron(2,heron(2,17/12,.001),.001),.001)
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Palavras chave/keywords: matemática, raiz quadrada, Herão

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Última actualização/Last updated: 23-01-2017 [09:19]


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1999-2017 (ç) Tiago Charters de Azevedo

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